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Binäres (duales) Zahlensystem

In Datenverarbeitunsanlagen werden Zeichen in Form von Signalen elektrischer (Spannung), optischer (Markierung) oder mechanischer (Lochung) Art dargestellt. Dabei ist es möglich, zwei definierte Zustände (Signale) zu verwenden. Man bezeichnet die Zustäde mit "binär Eins" und "binär Null" (0).

Darstellung: 0, 1
Darstellungsform: n = ∑ m -> i=0 bi * 2^i

n ∈ Menge Natürliche Zahlen
bi = {0; 1}
m = Zahl der zur Verfügung stehenden Stellen
Basis = 2

Stellenwert: Potenzen der Basis 2

Kennzeichnung: b
Es gibt genau zwei Ziffern, die gröste Ziffer "1" ist um eins kleiner als die Basis.
Addition binär Zahlen:

0 + 0 = 0 ; 1 + 0 = 1
0 + 1 = 1 ; 1 + 1 = 1 (0 mit Überlauf)

Multiplikation binär Zahlen:

0 * 0 = 0 ; 1 * 0 = 0
0 * 1 = 0 ; 1 * 1 = 1



Einheiten

Bit

Das Bit ist die Einheit für die Anzahl der Binärentscheidungen. Es ist die kleinste Darstellungsform des Binärcodes.
Zustand: 0 oder 1 (in der Technik: 0 - kein Strom = Low [L]; 1 - Strom = High [H])

Byte

Ein Byte ist die Zusammenfassung von 8 Bit zur Darstellung eines Zeichens. Aus den 8-Bitstellen ergeben sich 256 Kombinatiosmöglichkeiten der Zeichendarstellung.
weitere Einheiten:

1 KByte = 2^10 Byte = 1024 Byte (1024 Zeichen)
1 MByte = 2^20 Byte = 1024 KByte = 1048576 Byte (1048576 Zeichen)
1 GByte = 2^30 Byte = 1024 MByte = 1073741824 Byte (1073741824 Zeichen)
1 TByte = 2^40 Byte = 1024 GByte

Halbbyte

Ein Halbbyte ist die Zusammenfassung von 4 Bit zu einer Tetrade.
1 Byte kann in 2 Halbbyte zerlegt werden; das erste Halbbyte stellt den Zonenteil der Bitpositionen von 0 bis 3 dar; das zweite den Ziffernteil, Bitpositionen von 4 bis 7.


Hexadezimalsystem

Darstellung: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Stellenwert: Potenzen der Basis 16
Kennzeichnung:h
Darstellungsform: n = ∑ m -> i=0 hi * 16^i

n ∈ Menge Natürliche Zahlen
hi = {0; 1; ...; 9; A; ...; F}
m = Zahl der zur Verfügung stehenden Stellen
Basis = 16
Es gibt genau 16 Ziffern und Buchstaben, die größte Ziffer F ist um eins kleiner als die Basis.

Umrechnung Dezimalzahlen, Hexadezimalzahlen, Binärzahlen

Zahlen im Zweiersystem

Die Zahl 2 ist Basis des Zweiersystems (Dualystems). Zur Darstellung einer natürlichen Zahl im Dualsystem benötigt man zwei Ziffern. Um Verwechslungen mit dekadischen Ziffern zu vermeiden, verwendet man mitunter 0 und L. So wird mit LL0L ( andere Schreibweise: [1101]² die Zahl 13 des dekadischen Systems dargestellt. Die Stellentafel des Dualsystems in die Zahl [101011011]² eingefügt wurde, hat die Gestalt:

2^12 = 0
2^11 = 0
2^10 = 0
2^9 = 0
2^8 = 1
2^7 = 0
2^6 = 1
2^5 = 0
2^4 = 1
2^3 = 1
2^2 = 0
2^1 = 1
2^0 = 1


[101011011]² = 1 * 2^8 + 0 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 347

Man kann andere natürliche Zahlen als Basis für ein Stellenwertsystem verwenden. Im "Zwölfersystem" würde man z.B. gengenüber dem Zehnersystem je eine weitere Ziffer für die zehn und die elf benötigen.